Формула полной механической энергии пружинного маятника

Чудо — Рациональность — Наука — Духовность

Ж ИЗНЕННЫЙ ПУТЬ — это путь исследователя, постигающего тайны мироздания

Наш сайт доступен

52 языках

Если вам понравился сайт, то поделитесь со своими друзьями этой информацией в социальных сетях, просто нажав на кнопку вашей сети.

может быть ваша реклама —> —>.

Пружинный маятник Колебания массивного тела, обусловленные действием упругой силы

Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения.

Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.

В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене (рис. 1).

Прямолинейное движение тела описывают посредством зависимости его координаты от времени:

Если известны все силы, действующие на рассматриваемое тело, то эту зависимость можно установить при помощи второго закона Ньютона:

md 2 x /dt 2 = S F , (2)

где m — масса тела.

Правая часть уравнения (2) есть сумма проекций на ось x всех действующих на тело сил.

В рассматриваемом случае главную роль играет упругая сила, которая является консервативной и может быть представлена в виде:

F ( x ) = — dU ( x )/ dx , (3)

где U = U ( x ) — потенциальная энергия деформированной пружины.

Пусть x есть удлинение пружины. Экспериментально установлено, что при малых значениях относительного удлинения пружины, т.е. при условии, что:

где l — длина недеформированной пружины.

Приближенно справедлива зависимость:

U ( x ) = k x 2 /2, (4)

где коэффициент k называют жесткостью пружины.

Из этой формулы вытекает следующее выражение для упругой силы:

Эту зависимость называют законом Гука.

Кроме силы упругости на движущееся по плоскости тело может действовать сила трения, которая удовлетворительно описывается эмпирической формулой:

F тр = — r dx /dt , (6)

где r — коэффициент трения.

С учетом формул (5) и (6) уравнение (2) можно записать так:

md 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = F ( t ), (7)

где F ( t ) — внешная сила.

Если на тело действует только сила Гука (5), то свободные колебания тела будут гармоническими. Такое тело называют гармоническим пружинным маятником.

Второй закон Ньютона в этом случае приводит к уравнению:

d 2 x /dt 2 + w 0 2 x = 0, (8)

w 0 = sqrt ( k /m ) (9)

Общее решение уравнения (8) имеет вид:

x ( t ) = A cos ( w 0 t + a ), (10)

где амплитуда A и начальная фаза a определяются начальными условиями.

Когда на рассматриваемое тело действует только сила упругости (5), его полная механическая энергия не изменяется с течением времени:

mv 2 / 2 + k x 2 /2 = const . (11)

Это утверждение составляет содержание закона сохранения энергии гармонического пружинного маятника.

Пусть на массивное тело кроме упругой силы, возвращающей его в положение равновесия, действует сила трения. В этом случае возбужденные в некоторый момент времени свободные колебания тела будут затухать с течением времени и тело будет стремиться к положению равновесия.

В этом второй закон Ньютона (7) можно записать так:

m d 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = 0, (12)

где m — масса тела.

Общее решение уравнения (12) имеет вид:

x(t) = a exp(- b t ) cos ( w t + a ), (13)

w = sqrt( w o 2 — b 2 ) (14)

— коэффициент затухания колебаний, амплитуда a и начальная фаза a определяются начальными условиями. Функция (13) описывает так называемые затухающие колебания.

Полная механическая энергия пружинного маятника, т.е. сумма его кинетической и потенциальной энергий

E = m v 2 /2 + kx 2 / 2 (16)

изменяется с течением времени по закону:

где P = — rv 2 — мощность силы трения, т.е. энергия, переходящая в тепло за единицу времени.

Время инициации (log t o от -3 до -1);

Время существования (log t c от 1 до 15);

Время деградации (log t d от -3 до 3);

Время оптимального проявления (log t k от -3 до -2).

Технические реализации эффекта

Техническая реализация эффекта

Техническая реализация представляет собой осуществление гармонического вынужденного колебания массивного тела, лежащего на плоскости практически без трения (лед, полированная поверхность, воздушная подушка и т.п.) — вдоль оси X под действием упругой силы пружины, второй конец которой жестко закреплен относительно плоскости. Пружину растягивают после чего отпускают.

Пружинные маятники широко используются в качестве акселерометра в системах управления баллистических ракет, контактных взрывателях артиллеристских и авиационных боеприпасов и т.п.

1. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике.- М.: Наука, 1974.- С.942.

2. Горелик Г.С. Колебания.- М.: Гос. изд-во тех.-теор. лит., 1950.- С.551.

• пружинный маятник
• упругая сила
• колебания

Разделы областей техники и экономики:

	Автомобилестроение
	Двигателестроение

Используемые естественнонаучные эффекты:

Полное название / (Краткое название)

Возбуждение гармонических механических колебаний (Возбуждение гармонических механических колебаний)

Полное название / (Краткое название)

Разделы естественных наук используемых естественнонаучных эффектов:

Работа большинства механизмов основана на простейших законах физики и математики. Довольно большое распространение получило понятие пружинного маятника. Подобный механизм получил весьма широкое распространение, так как пружина обеспечивает требуемую функциональность, может быть элементом автоматических устройств. Рассмотрим подробнее подобное устройство, принцип действия и многие другие моменты подробнее.

Определения пружинного маятника

Как ранее было отмечено, пружинный маятник получил весьма широкое распространение. Среди особенностей можно отметить следующее:

1. Устройство представлено сочетанием груза и пружины, масса которой может не учитываться. В качестве груза может выступать самый различный объект. При этом на него может оказываться воздействие со стороны внешней силы. Распространенным примером можно назвать создание предохранительного клапана, который устанавливается в системе трубопровода. Крепление груза к пружине проводится самым различным образом. При этом используется исключительно классический винтовой вариант исполнения, который получил наиболее широкое распространение. Основные свойства во многом зависят от типа применяемого материала при изготовлении, диаметра витка, правильности центровки и многих других моментов. Крайние витки часто изготавливаются таким образом, чтобы могли воспринимать большую нагрузку при эксплуатации.
2. До начала деформации полная механическая энергия отсутствует. При этом на тело не влияет сила упругости. Каждая пружина имеет исходное положение, которое она сохраняет на протяжении длительного периода. Однако, за счет определенной жесткости происходит фиксация тела в начальном положении. Имеет значение то, каким образом прикладывается усилие. Примером назовем то, что она должна быть направлена вдоль оси пружины, так как в противном случае есть вероятность появления деформации и многих других проблем. У каждой пружины есть свои определенный придел сжатия и растяжения. При этом максимальное сжатие представлено отсутствием зазора между отдельными витками, при растяжении есть момент, когда происходит невозвратная деформация изделия. При слишком сильном удлинении проволоки происходит изменение основных свойств, после чего изделие не возвращается в свое первоначальное положение.
3. В рассматриваемом случае колебания совершаются за счет действия силы упругости. Она характеризуется довольно большим количество особенностей, которые должны учитываться. Воздействие упругости достигается за счет определенного расположения витков и типа применяемого материала при изготовлении. При этом сила упругости может действовать в обе стороны. Чаще всего происходит сжатие, но также может проводится растяжение – все зависит от особенностей конкретного случая.
4. Скорость перемещения тела может варьировать в достаточно большом диапазоне, все зависит от того, какое оказывается воздействие. К примеру, пружинный маятник может перемещать подвешенный груз в горизонтальной и вертикальной плоскости. Действие направленного усилия во многом зависит от вертикальной или горизонтальной установки.

В целом можно сказать, что пружинный маятник определение довольно обобщенное. При этом скорость перемещения объекта зависит от различных параметров, к примеру, величины приложенного усилия и других моментов. Перед непосредственным проведением расчетов проводится создание схемы:

1. Указывается опора, к которой крепится пружина. Зачастую для ее отображения рисуется линия с обратной штриховкой.
2. Схематически отображается пружина. Она часта представлена волнистой линией. При схематическом отображении не имеет значение длина и диаметральный показатель.
3. Также изображается тело. Оно не должно соответствовать размерам, однако имеет значение место непосредственного крепления.

Схема требуется для схематического отображения всех сил, которые оказывают влияние на устройство. Только в этом случае можно учесть все, что влияет на скорость перемещения, инерцию и многие другие моменты.

Пружинные маятники применяются не только при расчетах ил решении различных задач, но также и на практике. Однако, не все свойства подобного механизма применимы.

Примером можно назвать случай, когда колебательные движения не требуются:

1. Создание запорных элементов.
2. Пружинные механизмы, связанные с транспортировкой различных материалов и объектов.

Проводимые расчеты пружинного маятника позволяют подобрать наиболее подходящий вес тела, а также тип пружины. Она характеризуется следующими особенностями:

1. Диаметр витков. Он может быть самым различным. От показателя диаметра во многом зависит то, сколько требуется материала для производства. Диаметр витков также определяет то, какое усилие должно прикладываться для полного сжатия или частичного растяжения. Однако, увеличение размеров может создать существенные трудности с установкой изделия.
2. Диаметр проволоки. Еще одним важным параметром можно назвать диаметральный размер проволоки. Он может варьировать в широком диапазоне, зависит прочность и степень упругости.
3. Длина изделия. Этот показатель определяет то, какое усилие требуется для полного сжатия, а также какой упругостью может обладать изделие.
4. Тип применяемого материала также определяет основные свойства. Чаще всего пружина изготавливается при применении специального сплава, который обладает соответствующие свойствами.

При» математических расчетах многие моменты не учитываются. Усилие упругости и многие другие показатели выявляются путем расчета.

Виды пружинного маятника

Выделяют несколько различных видов пружинного маятника. Стоит учитывать, что классификация может проводится по типу устанавливаемой пружины. Среди особенностей отметим:

1. Довольно большое распространение получили вертикальные колебания, так как в этом случае на груз не оказывается сила трения и другое воздействие. При вертикальном расположении груза существенно увеличивается степень воздействия силы тяжести. Распространен этот вариант исполнения при проведении самых различных расчетов. За счет силы тяжести есть вероятность того, что тело в исходной точке будет совершать большое количество инерционных движений. Этому также способствует упругость и инерция движения тела в конце хода.
2. Также применяется горизонтальный пружинный маятник. В этом случае груз находится на опорной поверхности и на момент перемещения также возникает трение. При горизонтальном расположении сила тяжести работает несколько иначе. Горизонтальное расположение тела получило широкое распространение в различных задачах.

Рассчитывается движение пружинного маятника можно при использовании достаточно большого количества различных формул, который должны учитывать воздействие всех сил. В большинстве случаев устанавливается классическая пружина. Среди особенностей отметим следующее:

1. Классическая витая пружина сжатия сегодня получила весьма широкое распространение. В этом случае между витками есть пространство, которое называется шагом. Пружина сжатия может и растягиваться, но зачастую она для этого не устанавливается. Отличительной особенностью можно назвать то, что последние витки выполнены в виде плоскости, за счет чего обеспечивается равномерное распределения усилия.
2. Может устанавливаться вариант исполнения для растяжения. Он рассчитан на установку в случае, когда приложенное усилие становится причиной увеличения длины. Для крепления проводится размещение крючков.

Распространены оба варианта исполнения. При этом важно уделить внимание тому, чтобы сила прикладывалась параллельно оси. В противном случае есть вероятность смещения витков, что становится причиной возникновения серьезных проблем, к примеру, деформации.

Сила упругости в пружинном маятнике

Следует учитывать тот момент, что до деформирования пружины она находится в положении равновесия. Приложенная сила может приводить к ее растягиванию и сжиманию. Сила упругости в пружинном маятнике рассчитывается в соответствии с тем, как воздействует закон сохранения энергии. Согласно принятым нормам возникающая упругость пропорциональна смещению тела. В этом случае кинетическая энергия рассчитывается по формуле: F=»-kx.» В данном случае применяется коэффициент жесткости пружины.

Выделяют довольно большое количество особенностей воздействия силы упругости в пружинном маятнике. Среди особенностей отметим:

1. Максимальная сила упругости возникает на момент, когда тело находится на максимальном расстоянии от положения равновесия. При этом в подобном положении отмечается максимальное значение ускорение тела. Не следует забывать о том, что может проводится растягивание и сжатие пружины, оба варианта несколько отличается. При сжатии минимальная длина изделия ограничивается. Как правило, она имеет длину, равную диаметру витка умноженное на количество. Слишком большое усилие может стать причиной смещения витков, а также деформации проволоки. При растяжении есть момент удлинения, после которого происходит деформация. Сильное удлинение приводит к тому, что возникающей силы упругости недостаточно для возврата изделия в первоначальное состояние.
2. При сближении тела к месту равновесия происходит существенное уменьшение длины пружины. За счет этого наблюдается постоянное снижение показателя ускорения. Все это происходит за счет воздействия усилия упругости, которая связано с типом применяемого материала при изготовлении пружины и ее особенностями. Длина уменьшается за счет того, что расстояние между витками снижается. Особенностью можно назвать равномерное распределение витков, лишь только в случае дефектов есть вероятность нарушения подобного правила.
3. На момент достижения точки равновесия сила упругости снижается до нуля. Однако, скорость не снижается, так как тело движется по инерции. Точка равновесия характеризуется тем, что длина изделия в ней сохраняется на протяжении длительного периода при условии отсутствия внешнего деформирующего усилия. Точка равновесия определяется в случае построения схемы.
4. После достижения точки равновесия возникающая упругость начинает снижать скорость перемещения тела. Она действует в противоположном направлении. При этом возникает усилие, которое направлено в обратную сторону.
5. Дойдя крайней точки тело начинает двигаться в противоположную сторону. В зависимости от жесткости установленной пружины подобное действие будет повторятся неоднократно. Протяженность этого цикла зависит от самых различных моментов. Примером можно назвать массу тела, а также максимальное приложенное усилие для возникновения деформации. В некоторых случаях колебательные движения практически незаметны, но они все же возникают.

Приведенная выше информация указывает на то, что колебательные движения совершаются за счет воздействия упругости. Деформация происходит за счет приложенного усилия, которое может варьировать в достаточно большом диапазоне, все зависит от конкретного случая.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Колебания пружинного маятника совершаются по гармоническому закону. Формула, по которой проводится расчет, выглядит следующим образом: F(t)=»ma(t)=-mw2x(t).

В» приведенной выше формуле указывается (w) радиальная частота гармонического колебания. Она свойственна силе, которая распространяется в границах применимости закона Гука. Уравнение движения может существенно отличаться, все зависит от конкретного случая.

Если рассматривать колебательное движение, то следует уделить внимание следующим моментам:

1. Колебательные движения наблюдаются только в конце перемещения тела. Изначально оно прямолинейное до полного освобождения усилия. При этом сила упругости сохраняется на протяжении всего времени, пока тело находится в максимально отдаленном положении от нуля координат.
2. После растяжения тело возвращается в исходное положение. Возникающая инерция становится причиной, по которой может оказываться воздействие на пружину. Инерция во многом зависит от массы тела, развитой скорости и многих других моментов.

В результате этого возникает колебание, которое может длиться в течение длительного периода. Приведенная выше формула позволяет провести расчет с учетом всех моментов.

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

При проектировании и вычислении основных показателей также уделяется довольно много внимания частоте и периоду колебания. Косинус – периодическая функция, в которой применяется значение, неизменяемое через определенный промежуток времени. Именно этот показатель называют период колебаний пружинного маятника. Для обозначения этого показателя применяется буква Т, также часто используется понятие, характеризующее значение, обратное периоду колебания (v). В большинстве случаев при расчетах применяется формула T=»1/v.

Период» колебаний вычисляется по несколько усложненной формуле. Она следующая: T=»2п√m/k.» Для определения частоты колебания используется формула: v=»1/2п√k/m.

Рассматриваемая циклическая частота колебаний пружинного маятника зависит от следующих моментов:

1. Масса груза, который прикреплен к пружине. Этот показатель считается наиболее важным, так как оказывает влияние на самые различные параметры. От массы зависит сила инерции, скорость и многие другие показатели. Кроме этого, масса груза – величина, с измерением которой не возникает проблем из-за наличия специального измерительного оборудования.
2. Коэффициент упругости. Для каждой пружины этот показатель существенно отличается. Коэффициент упругости указывается для определения основных параметров пружины. Зависит этот параметр от количества витков, длины изделия, расстояние между витками, их диаметра и многого другого. Определяется он самым различным образом, зачастую при применении специального оборудования.

Не стоит забывать о том, что при сильном растяжении пружины закон Гука прекращает действовать. При этом период пружинного колебания начинает зависеть от амплитуды.

Для измерения периода применяется всемирная единица времени, в большинстве случаев секунды. В большинстве случаев амплитуда колебаний вычисляется при решении самых различных задач. Для упрощения процесса проводится построение упрощенной схемы, на которой отображаются основные силы.

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Определившись с особенностями проходимых процессов и зная уравнение колебаний пружинного маятника, а также начальные значения можно провести расчет амплитуды и начальной фазы пружинного маятника. Для определения начальной фазы применяется значение f, амплитуда обозначается символом A.

Для определения амплитуды может использоваться формула: А=»√x» 2 +v 2 /w 2 . Начальная фаза высчитывается по формуле: tgf=»-v/xw.

Применяя» эти формулы можно провести определение основных параметров, которые применяются при расчетах.

Энергия колебаний пружинного маятника

Рассматривая колебание груза на пружине нужно учитывать тот момент, что при движение маятника может описываться двумя точками, то есть оно носит прямолинейный характер. Этот момент определяет выполнение условий, касающихся рассматриваемой силы. Можно сказать, что полная энергия потенциальная.

Провести расчет энергии колебаний пружинного маятника можно при учете всех особенностей. Основными моментами назовем следующее:

1. Колебания могут проходить в горизонтальной и вертикальной плоскости.
2. Ноль потенциальной энергии выбирается в качестве положения равновесия. Именно в этом месте устанавливается начало координат. Как правило, в этом положении пружина сохраняет свою форму при условии отсутствия деформирующей силы.
3. В рассматриваемом случае рассчитываемая энергия пружинного маятника не учитывает силу трения. При вертикальном расположении груза сила трения несущественна, при горизонтальном тело находится на поверхности и при движении может возникнуть трение.
4. Для расчета энергии колебания применяется следующая формула: E=»-dF/dx.

Приведенная» выше информация указывают на то, что закон сохранения энергии выглядит следующим образом: mx 2 /2+mw 2 x 2 /2=»const.» Применяемая формула говорит о следующем:

1. Максимальная кинетическая энергия установленного маятника прямо пропорциональна максимальному значению потенциальной.
2. На момент осциллятора среднее значение обоих сил равны.

Провести определение энергии колебания пружинного маятника можно при решении самых различных задач.

Свободные колебания пружинного маятника

Рассматривая то, чем вызваны свободные колебания пружинного маятника следует уделить внимание действию внутренних сил. Они начинают формироваться практически сразу после того, как телу было передано движение. Особенности гармонических колебаний заключаются в нижеприведенных моментах:

1. Могут также возникать и другие типы сил воздействующего характера, который удовлетворяют все нормы закона, называются квазиупругими.
2. Основными причинами действия закона могут быть внутренние силы, которые формируются непосредственно на момент изменения положения тела в пространстве. При этом груз обладает определенной массой, усилие создается за счет фиксации одного конца за неподвижный объект с достаточной прочностью, второго за сам груз. При условии отсутствия трения тело может совершать колебательные движения. В этом случае закрепленный груз называется линейным.

Не стоит забывать о том, что существует просто огромное количество различных видов систем, в которых осуществляется движение колебательного характера. В них также возникает упругая деформация, которая становится причиной применения для выполнения какой-либо работы.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Маятник на пружине — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

Период колебаний пружинного маятника может быть вычислен по следующей формуле:

T =»» 2 π m k >>> .

Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения. Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.

В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.

Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:

m a =»» − k x ⟺ x ¨ + k m x =»» 0 >+>x=»0>»

Если на систему оказывают влияние внешние силы, то уравнение колебаний перепишется так:

x ¨ + k m x =»» f ( x ) >+>x=»f(x)>» , где f(x) — это равнодействующая внешних сил соотнесённая к единице массы груза.

В случае наличия затухания, пропорционального скорости колебаний с коэффициентом c:

x ¨ + c m x ˙ + k m x =»» f ( x ) >+> >+>x=»f(x)>»

>