Фиксированное начало отсчета имеет шкала

Высокое качество продукции любого предприятия напрямую зависит от точности и общего качества измерений. Мы не можем решить, соответствует ли конкретный образец продукции требованиям заказчика, если не выразим эти требования количественно или качественно. Для сравнения какого-либо параметра с его заданным значением служат шкалы измерений.

Виды шкал измерений

Суть измерения состоит в том, что текущему состоянию объекта ставится в соответствие некоторое число, порядковый номер или символ.

Что такое шкала

Совокупность таких чисел, номеров или символов и называется шкалой измерений

По своему типу выделяют следующие виды шкал:

• номинальная (наименований);
• порядковая;
• интервальная;
• отношений;
• абсолютная.

Шкалы также относят к одной из двух групп:

• качественные, для которых не существует единиц измерений;

• номинальная;
• порядковая;

количественные, выражающие значения в определенных единицах;.

интервалов;

отношений;

абсолютная .

Шкалы также делятся по их силе. Чем больше сведений об объекте измерений можно извлечь из результатов измерений по ней. Самыми сильными считаются абсолютные шкалы, самыми слабыми — номинальные. Иногда исследователи усиливают шкалу, характерным примером является «оцифровка» номинальных шкал. Качественным признакам присваивают некое их числовое выражение. Это облегчает обработку результатов, особенно компьютерную. Важно помнить, что оцифровка не придает качественным признакам всех свойств, которыми обладают числа. К такой шкале можно применять операции сравнения, но нельзя — сложения, вычитания и т.п.

Шкалы измерения по Стивенсу

Шкалы измерений

Рассмотрим шкалы измерений подробнее.

Номинальная

Самые простые измерительные шкалы – номинальные. Они относятся к качественным и отражают те или иные свойства объекта, выраженные словесно. Их элементы могут только совпадать или не совпадать друг другом, Их нельзя сопоставлять по принципу «больше-меньше». Недопустимы также и арифметические действия.

Характерным примером может служить группа крови. Первая группа не больше третьей и не может быть сложена с четвертой. У человека может быть только одна группа крови, и измерение

Порядковая

По ней можно ранжировать и сравнивать объекты, по какому — либо признаку, например, расположить людей в строю по росту. Иванов больше Сидорова, а Сидоров больше Кузнецова.

Из этих данных можно сделать вывод о том, что Иванов выше Кузнецова, но нельзя определить, насколько именно.

Интервалов

Она состоит из заранее определенных и равных между собой интервалов. И является намного более информативной. Свойство объекта соотносится с одним из таких интервалов.

Характерным примером такой шкалы измерений может служить принятое у людей исчисление времени. Период оборота Земли вокруг Солнца делится на 365 дней, дни делятся на часы, далее на минуты и секунды. Мы можем соотнести событие с одним из таких интервалов: «эта статья была написана в 2018 году» или «Дождь начнется в 14 часов»

Значения в этом случае можно сравнивать друг с другом не только качественно, но и количественно, становятся доступны операции сложения и вычитания. «Заход солнца произойдет на 12 часов позже восхода». «Фильм А длиннее фильма В на 25 минут»

Однако поскольку начало отсчета не установлено, невозможно определить, во сколько раз одно значение больше другого.

Отношений

Точкой начала отсчета является точка, в которой значение параметра равно нулю. Появляется возможность отсчитывать от нее абсолютное значение параметра, определять разницы значений и во сколько раз одно больше другого. Характерный пример — температурная шкала Кельвина. За начало отчета взята точка «абсолютного нуля», при которой прекращается тепловое движение материи. Второй опорной точкой выбрана температура таяния льда при нормальном давлении. Разница между этими точками по Цельсию составляет 273 °C, и один градус Кельвина равен одному градусу Цельсия. Таким образом, можно сказать, что лед тает при 273К.

Отношений – наиболее информативная. На ней возможны все арифметические операции-

Деление, умножение сложение и вычитание значений параметра будет иметь физический смысл. Мы можем вычислить не только насколько одно значение больше другого, но и во сколько раз.

Разностей

Представляет собой частный случай интервальных. Для них значение не меняется при произвольном числе сдвигов на определенный параметр. Другими характерными признаками являются

• единицы измерений и точка отсчета определяется по соглашению;
• существует понятие размерности;
• доступны операции линейных преобразований;
• осуществляется путем создания системы эталонов.

В качестве примера можно привести циферблат часов – каждые сутки значение времени будет, например, «7 часов», хотя это разные дни.

Другим примером может служить компас, показывающий направление из одной точки. Сама эта точка может иметь различные координаты.

Важно помнить, что в этом случае при измерении мы можем вычислять разницу между двумя значениями, но должны все время помнить о том, что начальное значении задано произвольно. Например, при переходе на летнее время придется задать новое начальное значение.

Абсолютная

Абсолютная шкала занимает высшую ступень в шкальной иерархии. Единицы их естественные и не основаны на соглашениях и допущениях. Кроме того, эти единицы не имеют размерности, не служат производными системы СИ или какой-либо другой. Они всегда безразмерны:

Абсолютные подразделяют на

• ограниченные. Диапазон от 0 до 1. Сюда относятся КПД, оптические коэффициенты поглощения т.д.
• неограниченные – предел упругости, коэффициент усиления в радиотехнике и т.д. Все они нелинейные и не имеют единиц измерений.

Иерархия шкал измерений

Условная иерархия составляется по признаку силы.

• Количественные:

• абсолютная;
• разностей;
• отношений;
• интервалов;

Качественные:

порядковая;

наименований.

По мере возрастания силы увеличивается конкретность информации об объекте.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

В классификации шкал, предложенной в l946 г. американским психологом и психофизиком С.Стивенсом, выделяются шкалы:

Номинативная шкала / шкала наименований (неметрическая) . В ее основе лежит процедура: пользуясь определенным правилом, объекты группируются по различным классам так, чтобы внутри класса они были идентичны по измеряемому свойству. Каждому классу дается наименование и обозначение, обычно числовое. Затем каждому объекту присваивается соответствующее обозначение.

Номинальные переменные используются только для качественной классификации. Это означает, что данные переменные могут быть измерены только в терминах принадлежности к некоторым существенно различным классам, при этом нельзя определить количество или упорядочить эти классы. Типичными примерами номинальных переменных являются: пол, национальность, признак (наличие – отсутствие). Часто номинальные переменные называются категориальными. Близким к ним являются категоризованные переменные, т.е. переменные, искусственно превращенные в категориальные.

Учитывается только одно свойство чисел – то, что это разные символы. Остальные свойства чисел не учитываются. Операции с числами — упорядочивание, сложение – вычитание, деление – при измерении в номинативной шкале теряют смысл. При сравнении объектов можно делать вывод о том, принадлежат они к одному или разным классам, тождественны или нет по измеренному свойству. Несмотря на такие ограничения, номинативные шкалы широко используются в психологии.

Порядковая шкала / ранговая (неметрическая). Измерение в этой шкале предполагает приписывание объектам чисел в зависимости от степени выраженности измеряемого свойства

Порядковые переменные позволяют ранжировать (упорядочить) объекты, если указано, какие из них в большей или меньшей степени обладают качеством, выраженным данной переменной. Однако они не позволяют определить «насколько больше» или «насколько меньше» данного качества содержится в переменной.

Порядковые переменные иногда также называют ординальными. Типичный пример — социоэкономический статус семьи, социометрический статус члена группы и т.д. Само расположение шкал в порядке возрастания их информативности — номинальная, порядковая, интервальная — является хорошим примером порядковой переменной. Например, можно сказать, что измерения в номинальной шкале предоставляют меньше информации, чем в порядковой шкале, а в порядковой — меньше, чем в интервальной. Однако невозможно придать термину «меньше» точный количественный смысл или сравнить между собой эти различия. Другой пример порядковой переменной — это интенсивность использования определенного цвета в картине художника.

Существует множество способов измерения в порядковой шкале. При измерении в ранговой шкале из всех свойств чисел учитывается то, что они разные, и то, что одно число больше, чем другое.

Важно, что категориальные и порядковые шкалы часто используются для описания качественных признаков.

Интервальная шкала (метрическая) является первой метрической шкалой. Собственно, начиная с нее, имеет смысл говорить об измерениях в узком смысле этого слова – о введении меры на множество объектов. Шкала интервалов определяет величину различий между объектами в проявлении свойства. С помощью шкалы интервалов можно сравнивать два объекта. При этом выясняют, насколько более или менее выражено определенное свойство у одного объекта, чем у другого.

Важная особенность интервальной шкалы – произвольность выбора нулевой точки: ноль вовсе не соответствует полному отсутствию измеряемого свойства. Произвольность выбора нулевой точки отсчета обозначает, что измерение в этой шкале не соответствует абсолютному количеству измеряемого свойства.

Такого рода переменные часто возникают в естественных науках, при снятии показателей с физических приборов, в медицине и т. д. Например, температура, измеренная в градусах Фаренгейта или Цельсия, образует интервальную шкалу, коэффициент интеллекта IQ и т.д.

Абсолютная шкала / шкала отношений (метрическая) – наиболее часто используемая в физике шкала. По крайней мере, идеалом измерительной процедуры является получение таких данных о выраженности свойств объектов, когда можно сказать, во сколько раз один объект больше или меньше другого.

Относительные переменные очень похожи на интервальные переменные. В дополнение ко всем свойствам переменных, измеренных в интервальной шкале, их характерной чертой является наличие определенной точки абсолютного нуля. Таким образом, для этих переменных являются обоснованными утверждения типа: х в два раза больше, чем у. Например, температура по Кельвину образует шкалу отношения. Следует отметить, что, несмотря на привычность и обыденность абсолютной шкалы, в психологии она используется не часто. Из редких примеров можно привести измерение времени реакции (обычно в миллисекундах) и измерение абсолютных порогов чувствительности (в физических единицах свойств стимула).

Следует отметить, что всегда можно перейти от более богатой шкалы к менее богатой. Так, непрерывные переменные можно искусственно превратить в категориальные, то есть категоризироватъ. Категоризованные данные часто представляют в виде частот наблюдений, попавших в определенные категории или классы.

Перечисленные шкалы полезно характеризовать еще и по признаку их дифференцирующей способности (мощности). В этом отношении шкалы по мере возрастания мощности располагаются следующим образом: номинативная, ранговая, интервальная, абсолютная.

Подводя итоги, можно сказать, что существует четыре вида статистических шкал, на которых могут сравниваться численные значения:

Измерение — это алгоритмизированная операция, которая данному наблюдаемому состоянию объекта, процесса, явления ставит в соответствие определенное обозначение: число или символ. Результаты измерений содержат информацию о наблюдавшемся объекте. Количество информации зависит от степени полноты этого соответствия и разнообразия вариантов. Нужная нам информация получается из результатов измерений с помощью их преобразований. Совершенно ясно, что чем теснее соответствие между состояниями и их обозначениями, тем больше информации можно извлечь в результате обработки данных. Менее очевидно, что степень этого соответствия зависит не только от организации измерений, но и от природы исследуемого явления, и что сама степень соответствия определяет допустимые и недопустимые способы обработки данных.

Здесь мы рассмотрим только такие объекты, про любые два состояния которых можно сказать, различимы они или нет, и только такие алгоритмы измерения, которые различным состояниям ставят в соответствие разные обозначения, а неразличимым состояниям — одинаковые обозначения. Это означает, что как состояния объекта, так и их обозначения удовлетворяют следующим аксиомам тождества:

• 1 0 . Либо А=В, либо АВ
• 2 0 . Если А=В, то В=А
• 3 0 . Если А=В и В=С, то А=С

Шкалы наименований. Предположим, что число различных состояний конечно. Каждому классу эквивалентности поставим в соответствие обозначение, отличное от обозначений других классов. Тогда измерение будет состоять в том, чтобы, проведя эксперимент над объектом, определить принадлежность результата к тому или иному классу эквивалентности и записать это с помощью символа, обозначающего данный класс. Такое измерение называется измерением в шкале наименований.

Особенности шкалы наименований рассмотрим на примерах. Естественнее всего использовать шкалу наименований для классификации дискретных по своей природе явлений. Для обозначения классов могут быть использованы символы естественного языка (географические названия, имена), произвольные символы (гербы и флаги, эмблемы родов войск), номера (гос. номера автомобилей, исх. номера документов, номера на майках спортсменов), их различные модификации (почтовые адреса). При большом числе объектов их конкретизация упрощается, если обозначения вводятся иерархически (почтовые адреса).

Необходимость классификации возникает и в тех случаях, когда классифицируемые состояния образуют непрерывное множество. Задача сводится к предыдущей, если все множество разбить на конечное число подмножеств. Однако, условность введенных классов рано или поздно проявится на практике. Например, возникают трудности при точном переводе с одного языка на другой при описании цветовых оттенков (в английском языке голубой, лазоревый и синий цвета не различаются).

Перейдем теперь к вопросу о допустимых операциях над данными, выраженными в номинальной шкале. Обозначения классов — это только символы. Если у одного спортсмена на майке номер 4, а у другого 8, то никаких других выводов, кроме того, что это разные участники соревнований, сделать нельзя. С номерами нельзя обращаться как с числами, за исключением определения их равенства или неравенства. Только эти отношения определены между элементами номинальной шкалы. Поэтому при обработке экспериментальных данных, зафиксированных в номинальной шкале, непосредственно с самими данными можно выполнять только операцию проверки их совпадения или несовпадения.

Изобразим эту операцию с помощью символа Кронекера _ij=1: x_i=x_j; 0: x_ix_j, где x_i и x_j — записи разных измерений. С результатами этой операции можно выполнять более сложные преобразования: считать количества совпадений (например, число наблюдений k -класса равно

n — общее число наблюдений); вычислять относительные частоты классов (например, частота k -класса есть ); сравнивать эти частоты между собой, выполнять различные статистические процедуры, строго следя, чтобы в этих процедурах с исходными данными не выполнялось никаких действий, кроме операции проверки их на совпадение.

Порядковые шкалы. В тех случаях, когда измеряемый признак состояния имеет природу не только позволяющую отождествлять состояния с одним из классов эквивалентности, но и дающую возможность в каком-то отношении сравнивать разные классы, для измерений можно выбрать более сильную шкалу, чем номинальная. Следующей по силе за номинальной шкалой является порядковая (или ранговая) шкала. Этот класс шкал появляется, если кроме аксиом тождества 1 0 — 3 0 классы удовлетворяют следующим аксиомам упорядоченности:

• 4 0 . Если А>В, то В 0 . Если А>В и В>С, то А>С

Обозначив такие классы символами и установив между этими символами те же отношения порядка, мы получим шкалу простого порядка. Примерами применения такой шкалы являются: нумерация очередности, воинские звания, призовые места на соревнованиях.

Иногда оказывается, что не каждую пару классов можно упорядочить по предпочтению: некоторые пары считаются равными. В этом случае аксиомы 4 0 и 5 0 видоизменяются

• 4 1 . Либо АВ, либо АВ
• 5 1 . Если АВ и ВС, то АС

Шкала, соответствующая аксиомам 4 1 и 5 1 называется шкалой слабого порядка. Примером шкалы слабого порядка служит упорядочение по степени родства с конкретным лицом (мать=отец>сын=дочь) и т.д.

Иная ситуация возникает, когда имеются пары классов, несравнимые между собой, т.е. ни АВ, ни ВА. В этом случае говорят о шкале частичного порядка. Такие шкалы часто возникают в социологических исследованиях субъективных предпочтений. Например, при изучении покупательского спроса субъект часто не в состоянии оценить, какой именно из двух разнородных товаров ему больше нравится (клетчатые носки или фруктовые консервы).

Характерной особенностью порядковых шкал является то, что отношение порядка ничего не говорит о дистанции между сравниваемыми классами. Поэтому порядковые экспериментальные данные, даже если они изображены цифрами, нельзя рассматривать как числа, над ними нельзя выполнять действия, которые приводят к получению разных результатов при преобразовании шкалы, не нарушающей порядка. Например, нельзя вычислять выборочное среднее порядковых измерений, т.е.

так как переход к монотонно преобразованной шкале при усреднении даст

Однако допустима операция, позволяющая установить, какое из двух наблюдений x_i или x_j предпочтительнее, хотя формально эту операцию мы можем выразить через разность x_i — x_j. Введем индикатор положительных чисел — функцию Тогда если x_i x_j и мы ввели цифровую шкалу порядка, то

что и позволяет установить предпочтительность x_i перед x_j. Число

где n — число сравниваемых объектов , называется рангом i — го объекта. (Отсюда происходит другое название порядковых шкал — ранговые).

Итак, при измерениях в порядковых (в строгом смысле) шкалах обработка данных должна основываться только на допустимых для этих шкал операциях — вычисления _ij=1: x_i=x_j; 0: x_ix_j и

С этими числами можно «работать» дальше уже произвольным образом: кроме нахождения частот и мод (как и для номинальной шкалы) появляется возможность определить выборочную медиану (т.е. наблюдение с рангом R_i, ближайшим к числу n/2); можно разбить всю выборку на части в любой пропорции, находя выборочные квантили любого уровня p, 0 0 и 5 0 , но и аксиомам аддитивности:

• 6 0 . Если А=Р и В>0, то А+В>Р
• 7 0 . А+В=В+А
• 8 0 . Если А=Р и В=Q, то А+В=Р+Q
• 9 0 . (А+В)+С=А+(В+С)

Это существенное усиление шкалы: измерения в такой шкале являются «полноправными» числами, с ними можно выполнять любые арифметические действия. Введенная таким образом шкала называется шкалой отношений. Этот класс шкал обладает следующей особенностью: отношение двух наблюдаемых значений измеряемой величины не зависит от того, в какой из этих шкал произведены измерения. Величины, измеряемые в шкале отношений, имеют естественный абсолютный ноль, хотя остается свобода в выбор единиц. Примерами величин, природа которых соответствует шкале отношений, являются: длина, вес, электрическое сопротивление, деньги.

Абсолютная шкала. Рассмотрим такую шкалу, которая имеет и абсолютный ноль, и абсолютную единицу. Эта шкала уникальна. Именно такими качествами обладает числовая ось, которую естественно назвать абсолютной шкалой. Важной особенностью абсолютной шкалы по сравнению со всеми остальными является отвлеченность (безразмерность) и абсолютность ее единицы. Указанная особенность позволяет производить над показаниями абсолютной шкалы такие операции, которые недопустимы для показаний других шкал, — использовать их в качестве показателей степени и аргумента логарифма. Числовая ось используется при счете предметов и как вспомогательное средство присутствует во всех остальных шкалах. Некоторые безразмерные числовые отношения, обнаруживаемые в природе, вызывают восхищение (явления резонанса, гармоническое отношение размеров, звуков; законы теории подобия и размерностей, квантование энергии элементарных частиц и т.д.).

В таблице приведены основные сведения обо всех рассмотренных шкалах. Можно сказать, что чем сильнее шкала, в которой производятся измерения, тем больше сведений об изучаемом объекте дают эти измерения. Однако, важно иметь в виду, что выбор шкалы должен ориентироваться на объективные отношения, которым подчинена наблюдаемая величина. Можно измерять в шкале более слабой, но измерять в более сильной шкале — опасно.