Период колебаний потенциальной энергии горизонтального пружинного маятника

Определение и формулы пружинного маятника

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

где $<щu>^2_0=frac$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

где $<omega >_0=sqrt<frac>>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ — амплитуда колебаний; $<(omega >_0t+varphi )$ — фаза колебаний; $varphi $ и $<varphi >_1$ — начальные фазы колебаний.

В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

[Re ilde=Releft(Acdot exp left(ileft(<omega >_0t+varphi
ight)
ight)
ight)left(3
ight).]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

Так как частота колебаний ($
u $) — величина обратная к периоду, то:

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($varphi $).

Амплитуду можно найти как:

начальная фаза при этом:

где $v_0$ — скорость груза при $t=0 c$, когда координата груза равна $x_0$.

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:

Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:

где $dot=v$ — скорость движения груза; $E_k=frac>^2><2>$ — кинетическая энергия маятника.

Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

• Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
• Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600 frac<Н><м>$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1 frac<м><с>$?

Решение. Сделаем рисунок.

По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:

где $E_$ — потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_$ — кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.

Потенциальная энергия равна:

В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:

Из (1.4) выразим искомую величину:

Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:

Ответ. $x_0=1,5$ мм

Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A<cos left(omega t
ight), > $где $A$ и $omega $ — постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_$. В какой момент времени это произойдет?

Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:

Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:

В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_$, значит:

• 10 — 11 классы
• Физика
• 8 баллов

Период колебаний потенциальной энергии пружинного маятника 1с. Каким будет период ее колебаний, если массу груза маятника увеличить в 2 раза, а жесткость пружины вдвое уменьшить? Варианты: 1)6с 2)2с 3)8с 4)4с

Презентация содержит 15 задач с сайта http://phys.reshuege.ru/test?theme=220 . Ко всем задачам даны ответы и последовательные подсказки для решения.

Другие 15 задач можно решать, чтобы дети уяснили уровень понимания данной темы. Учитель может выставить полученные оценки в журнал.

Просмотр содержимого документа
«Механические колебания. Решение задач.»

При гармонических колебаниях пружинного маятника координата груза

изменяется с течением времени t , как

показано на рисунке. Период Т и амплитуда

колебаний А равны соответственно

Период колебаний — это время, за которое маятник совершает одно полное колебание, оно составляет 4 с.

Амплитуда колебаний — это максимальное отклонение

от положения равновесия она равна 1,5 см.

Как изменится период малых колебаний математического маятника, если длину его нити увеличить в 4 раза?

Период малых колебаний математического маятника связан с длиной его нити соотношением

Увеличение его нити в 4 раза приведет к увеличению

периода колебаний в 2 раза.

Период колебаний потенциальной энергии горизонтального пружинного маятника 1 с.

Каким будет период его колебаний, если массу груза маятника увеличить в 2 раза, а жесткость пружины вдвое уменьшить?

Период колебаний потенциальной энергии пружинного маятника пропорционален периоду колебаний груза, который определяется выражением

Следовательно, увеличение массы груза маятника в 2 раза и уменьшение жесткости пружины в 2 раза приведет к увеличению периода колебаний потенциальной энергии пружинного маятника в 2 раза:

Груз, подвешенный на пружине

совершает свободные гармонические колебания.

Какой должна быть жесткость пружины, чтобы

частота колебаний этого груза увеличилась в 2 раза?

Частота колебаний пружинного маятника связан с жесткостью пружины и массой груза соотношением

Следовательно, при неизменной массе груза для увеличения частоты колебаний в два раза, необходимо увеличить жесткость пружины

в 4 раза. Жест­кость пру­жи­ны долж­на быть равна

На рисунке представлен график зависимости потенциальной энергии математического маятника (относительно положения его равновесия) от времени.

В момент времени,

механическая энергия маятника равна:

При колебании математического маятника выполняется закон сохранения механической энергии.

В любой момент времени имеем

Из графика видно, что в моменты времени 0 с и 2 с потенциальная энергия имеет максимум, а значит, в эти моменты времени ее значение совпадает с величиной полной механической энергии. Отсюда

На рисунке представлен график зависимости потенциальной энергии математического маятника (относительно положения его равновесия) от времени.

В момент времени

кинетическая энергия маятника равна:

При колебании математического маятника

выполняется закон сохранения механической энергии.

В любой момент времени имеем

В этот момент времени кинетическая энергия совпадает с полной механической энергией. Значение последней можно найти из графика в точках максимума потенциальной энергии (когда обращается в ноль кинетическая энергия). В итоге, имеем

Скорость тела, совершающего гармонические колебания, меняется с течением времени в соответствии с уравнение

, где все величины выражены в СИ.

Определите амплитуду колебаний скорости.

Общий вид закона изменения скорости тела со временем, совершающего колебания, имеет вид

заключаем, что амплитуда колебаний скорости равна

Груз колеблется на пружине, двигаясь

На рисунке показан график зависимости проекции скорости груза на эту ось

от времени t. За первые 6 с движения

груз прошел путь 1,5 м. Чему равна амплитуда колебаний груза?

Период колебаний маятника равен 8 с. В начальный момент времени скорость груза равна нулю, значит, груз находится в положении максимального отклонения.

За 6 с (то есть за 3/4 периода) груз успевает, пройдя через положение равновесия, дойти до другого состояния максимального отклонения, после чего вернуться снова в положение равновесия. Таким образом, его путь равен 3 амплитудам. Следовательно, амплитуда колебаний равна

Математический маятник с периодом колебаний Т отклонили на небольшой угол от положения равновесия и отпустили без начальной скорости (см. рисунок). Через какое время после этого кинетическая энергия маятника в первый раз достигнет минимума? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Поскольку маятник отпустили с нулевой начальной скоростью, положение начального отклонения соответствует максимальному отклонению.

За время, равное периоду, маятник успевает отклониться в противоположную сторону, после чего вернется в начальное положение. Минимальной кинетической энергии соответствует положение максимального отклонения. Впервые маятник окажется в нем через половину периода.

Груз колеблется на пружине, двигаясь

На рисунке показан график зависимости

координаты груза от времени.

На каких участках графика сила упругости

пружины, приложенная к грузу, совершает положительную работу?

Работа силы положительна, когда направление силы совпадает с направлением перемещения тела.

Сила упругости, действующая со стороны пружины на груз, всегда направлена против деформации пружины.

Если тело возвращается в положение равновесия, его скорость увеличивается, сила упругости совершает положительную работу.

Необходимо отобрать все участки, на которых тело приближается к положению равновесия.

Груз массой 50 г, прикреплённый к лёгкой пружине, совершает свободные колебания. График зависимости координаты x этого груза от времени t показан на рисунке. Жёсткость пружины равна

Период колебаний пружинного маятника вычисляется по формуле

Следовательно, жёсткость пружины равна

Из графика находим, что период колебаний равен

Гиря массой 2 кг подвешена на стальной пружине и совершает

свободные колебания вдоль вертикально направленной оси Ox ,

координата x центра масс гири изменяется со временем по закону

Кинетическая энергия гири изменяется по закону

Координата центра масс гири меняется по закону

Скорость центра масс гири меняется согласно

Кинетическая энергия изменяется по закону

Маятники 1 и 2 совершают гармонические

x 2 (t) = 12sin3t . Как отличаются фазы

колебаний этих маятников?

Воспользуемся формулами приведения:

Следовательно фазы колебаний этих маятников

На рисунке изображена зависимость амплитуды установившихся колебаний маятника от частоты вынуждающей силы (резонансная кривая). Амплитуда колебаний этого маятника при резонансе равна…

Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте маятника. Из графика видно, что резонанс происходит при значении частоты вынуждающей силы в 2 Гц, амплитуда колебаний маятника при этом равна 10 см.

Дробную часть от целой отделяйте точкой

«>