Последовательное соединение пружин разной жесткости

При параллельном соединении двух пружин, имеющих коэффициенты жесткости с₁, с₂ (рис. 2.5), смещение тела равно деформации каждой из пружин:

. (2.9)

Рис. 2.5 Параллельное соединение пружин

Сила упругости эквивалентной пружины с коэффициентом жесткости с* будет равна сумме сил упругости двух установленных пружин, откуда с учетом (2.9) получаем

,

. (2.10)

Последовательное соединение пружин

При последовательном соединении двух пружин, имеющих коэффициенты жесткости с₁, с₂ (рис. 2.6), смещение тела равно сумме деформаций пружин:

. (2.11)

Рис. 3.6 Последовательное соединение пружин

Сила упругости эквивалентной пружины с коэффициентом жесткости с* будет равна каждой из сил упругости установленных пружин, откуда

,

,

Окончательно с учетом (2.11) получаем

. (2.12)

Влияние сопротивления на свободные колебания

Пусть на точку массы m, совершающую прямолинейное движение, действуют две силы (рис. 2.7):

Восстанавливающая сила (сила упругости пружины): .

Сила сопротивления, пропорциональная скорости движения точки (сила сопротивления демпфера): .

Рис. 2.7 Движение массы с демпфированием

Дифференциальное уравнение движения точки запишется как

;

,

, , (2.13)

получаем линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

. (2.14)

Характеристическое уравнение имеет вид

, (2.15)

его корни равны

, (2.16)

где – дискриминант.

Как известно из курса высшей математики, общее решение дифференциального уравнения (2.14) существенно зависит от знака дискриминанта , т.е. от соотношения между b и k.

1-й случай (малое сопротивление): b  k , D  0.

Обозначим , причем k*  k. Тогда корни (2.16) характеристического уравнения будут комплексно сопряженными:

,

Общее решение дифференциального уравнения (2.14) в данном случае имеет вид

, (2.17)

это затухающие колебания с частотой k * и периодом (рис.3.8).

Амплитуда колебаний убывает со временем. Отношение последующей амплитуды к предыдущей называется декрементом затухания:

*  k) и к увеличению их периода (Т * > Т).

Корни (2.16) характеристического уравнения получаются кратные, , и решение дифференциального уравнения (2.14) приобретает вид

. (2.19)

Поскольку экспонента убывает быстрее, чем растёт линейная функция времени, в зависимости от начальных условий движения получим ту или иную картину затухающего апериодического (т.е. не колебательного) движения (рис.2.9).

3-й случай (большое сопротивление): b > k, D > 0.

В этом случае обозначим >0, и оба корня (2.16) характеристического уравнения будут действительными и отрицательными:

Рано или поздно при изучении курса физики ученики и студенты сталкиваются с задачами на силу упругости и закон Гука, в которых фигурирует коэффициент жесткости пружины. Что же это за величина, и как она связана с деформацией тел и законом Гука?

Сила упругости и закон Гука

Для начала определим основные термины, которые будут использоваться в данной статье. Известно, если воздействовать на тело извне, оно либо приобретет ускорение, либо деформируется. Деформация — это изменение размеров или формы тела под влиянием внешних сил. Если объект полностью восстанавливается после прекращения нагрузки, то такая деформация считается упругой; если же тело остается в измененном состоянии (например, согнутом, растянутом, сжатым и т. д. ), то деформация пластическая.

Примерами пластических деформаций являются:

• лепка из глины;
• погнутая алюминиевая ложка.

В свою очередь, упругими деформациями будут считаться:

• резинка (можно растянуть ее, после чего она вернется в исходное состояние);
• пружина (после сжатия снова распрямляется).

В результате упругой деформации тела (в частности, пружины) в нем возникает сила упругости, равная по модулю приложенной силе, но направленная в противоположную сторону. Сила упругости для пружины будет пропорциональна ее удлинению. Математически это можно записать таким образом:

где F — сила упругости, x — расстояние, на которое изменилась длина тела в результате растяжения, k — необходимый для нас коэффициент жесткости. Указанная выше формула также является частным случаем закона Гука для тонкого растяжимого стержня. В общей форме этот закон формулируется так: «Деформация, возникшая в упругом теле, будет пропорциональна силе, которая приложена к данному телу». Он справедлив только в тех случаях, когда речь идет о малых деформациях (растяжение или сжатие намного меньше длины исходного тела).

Определение коэффициента жесткости

Коэффициент жесткости (он также имеет названия коэффициента упругости или пропорциональности) чаще всего записывается буквой k, но иногда можно встретить обозначение D или c. Численно жесткость будет равна величине силы, которая растягивает пружину на единицу длины (в случае СИ — на 1 метр). Формула для нахождения коэффициента упругости выводится из частного случая закона Гука:

Чем больше величина жесткости, тем больше будет сопротивление тела к его деформации. Также коэффициент Гука показывает, насколько устойчиво тело к действию внешней нагрузки. Зависит этот параметр от геометрических параметров (диаметра проволоки, числа витков и диаметра намотки от оси проволоки) и от материала, из которого она изготовлена.

Единица измерения жесткости в СИ — Н/м.

Расчет жесткости системы

Встречаются более сложные задачи, в которых необходим расчет общей жесткости. В таких заданиях пружины соединены последовательно или параллельно.

Последовательное соединение системы пружин

При последовательном соединении общая жесткость системы уменьшается. Формула для расчета коэффициента упругости будет иметь следующий вид:

1/k = 1/k1 + 1/k2 + … + 1/ki,

где k — общая жесткость системы, k1, k2, …, ki — отдельные жесткости каждого элемента, i — общее количество всех пружин, задействованных в системе.

Параллельное соединение системы пружин

В случае когда пружины соединены параллельно, величина общего коэффициента упругости системы будет увеличиваться. Формула для расчета будет выглядеть так:

k = k1 + k2 + … + ki.

Измерение жесткости пружины опытным путем — в этом видео.

Вычисление коэффициента жесткости опытным методом

С помощью несложного опыта можно самостоятельно рассчитать, чему будет равен коэффициент Гука. Для проведения эксперимента понадобятся:

• линейка;
• пружина;
• груз с известной массой.

Последовательность действий для опыта такова:

1. Необходимо закрепить пружину вертикально, подвесив ее к любой удобной опоре. Нижний край должен остаться свободным.
2. При помощи линейки измеряется ее длина и записывается как величина x1.
3. На свободный конец нужно подвесить груз с известной массой m.
4. Длина пружины измеряется в нагруженном состоянии. Обозначается величиной x2.
5. Подсчитывается абсолютное удлинение: x = x2-x1. Для того чтобы получить результат в международной системе единиц, лучше сразу перевести его из сантиметров или миллиметров в метры.
6. Сила, которая вызвала деформацию, — это сила тяжести тела. Формула для ее расчета — F = mg, где m — это масса используемого в эксперименте груза (переводится в кг), а g — величина свободного ускорения, равная приблизительно 9,8.
7. После проведенных расчетов остается найти только сам коэффициент жесткости, формула которого была указана выше: k = F/x.

Примеры задач на нахождение жесткости

Задача 1

На пружину длиной 10 см действует сила F = 100 Н. Длина растянутой пружины составила 14 см. Найти коэффициент жесткости.

1. Рассчитываем длину абсолютного удлинения: x = 14—10 = 4 см = 0,04 м.
2. По формуле находим коэффициент жесткости: k = F/x = 100 / 0,04 = 2500 Н/м.

Ответ: жесткость пружины составит 2500 Н/м.

Задача 2

Груз массой 10 кг при подвешивании на пружину растянул ее на 4 см. Рассчитать, на какую длину растянет ее другой груз массой 25 кг.

1. Найдем силу тяжести, деформирующей пружину: F = mg = 10 · 9.8 = 98 Н.
2. Определим коэффициент упругости: k = F/x = 98 / 0.04 = 2450 Н/м.
3. Рассчитаем, с какой силой действует второй груз: F = mg = 25 · 9.8 = 245 Н.
4. По закону Гука запишем формулу для абсолютного удлинения: x = F/k.
5. Для второго случая подсчитаем длину растяжения: x = 245 / 2450 = 0,1 м.

Ответ: во втором случае пружина растянется на 10 см.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как определить жесткость пружины.

9. Чему равна жёсткость системы двух последовательно соединенных пружин жёсткостью 200 Н/м и 50 Н/м?

В этом примере жёсткость системы двух последовательно соединённых пружин оказалась меньше, чем жёсткость каждой пружины. Всегда ли это так?

10. Докажите, что жёсткость системы двух последовательно соединённых пружин меньше жёсткости любой из пружин, образующих систему.

Параллельное соединение пружин

На рисунке 15.7 слева изображены параллельно соединённые одинаковые пружины.

Обозначим жёсткость одной пружины k, а жёсткость системы пружин k_пар.

11. Докажите, что k_пар = 2k.

П о д с к а з к а. См. рисунок 15.7.

Итак, жёсткость системы из двух одинаковых параллельно соединённых пружин в 2 раза больше жёсткости каждой из них.

12. Докажите, что при параллельном соединении двух пружин жёсткостью k₁ и k₂

П о д с к а з к а. При параллельном соединении пружин их удлинение одинаково, а сила упругости, действующая со стороны системы пружин, равна сумме их сил упругости.

13. Две пружины жёсткостью 200 Н/м и 50 Н/м соединены параллельно. Чему равна жёсткость системы двух пружин?

14. Докажите, что жёсткость системы двух параллельно соединённых пружин больше жёсткости любой из пружин, образующих систему.