Уравнение по закону кирхгофа для электрических цепей

Законы Кирхгофа и их применение

Воздушная линия > Постоянный ток

Законы Кирхгофа и их применение

Для расчета разветвленной сложной электрической цепи существенное значение имеет число ветвей и узлов.
Ветвью электрической цепи и ее схемы называется участок, состоящий только из последовательно включенных источников ЭДС и приемников с одним и тем же током. Узлом цепи и схемы называется место или точка соединения трех и более ветвей (узлом иногда называют и точку соединения двух ветвей).
При обходе по соединенным в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи; каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза.

На рис. 1.13 в качестве примера показана схема электрической цепи с пятью узлами и девятью ветвями. В частных случаях встречаются ветви только с резистивными элементами без источников ЭДС (ветвь 1 — у) и с сопротивлениями, практически равными нулю (ветвь 2 — р). Так как напряжение между выводами ветви 2 — р равно нулю (сопро-тивление равно нулю), то потенциалы точек 2 и р одинаковы и оба узла можно объединить в один.
Режим электрической цепи произвольной конфигурации полностью определяется первым и вторым законами Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна пулю:

В этом уравнении одинаковые знаки должны быть взяты для токов, имеющих одинаковые положительные направления относительно узловой точки. В дальнейшем будем в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, записывать токи, направленные к узлу, с отрицательными знаками, а направленные от узла, — с положительными.
Если к данному узлу присоединен источник тока, то ток этого источника также должен быть учтен. В дальнейшем будет показано, что в ряде случаев целесообразно писать в одной части равенства (1.19а) алгебраическую сумму токов в ветвях, а в другой части алгебраическую сумму токов, обусловленных источниками токов:

где I — ток одной из ветвей, присоединенной к рассматриваемому узлу, a J — ток одного из источников тока, присоединенного к тому же самому узлу; этот ток входит в (1.196) с положительным знаком, если направлен к узлу, и с отрицательным, если направлен от узла.
Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех элементах и участках цепи, входящих в этот контур, равна нулю :

при этом положительные направления для напряжений на элементах и учасчках выбираются произвольно; в уравнении (1.20а) положительные знаки принимаются для тех напряжений, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.

Часто применяется другая формулировка второго закона Кирхгофа: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках с сопротивлениями, входящими в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС :

В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.
В теории электрических цепей решаются задачи двух типов. К первому типу относятся задачи анализа электрических цепей, когда, например, известны конфигурация и элементы цепи, а требуется определить токи, напряжения и мощности тех или иных участков. Ко второму типу относятся обратные задачи, в которых, например, заданы токи и напряжения на некоторых участках, а требуется найти конфигурацию цепи и выбрать ее элементы. Такие задачи называются задачами синтеза электрических цепей. Отметим, что решение задач анализа намного проще решения задач синтеза.
В практической электротехнике довольно часто встречаются задачи анализа. Кроме того, для овладения приемами синтеза цепей необходимо предварительно изучить методы их анализа, которые преимущественно и будут в дальнейшем рассматриваться.
Задачи анализа могут быть решены при помощи законов Кирхгофа. Если известны параметры всех элементов цепи и ее конфигурация, а требуется определить токи, то при составлении уравнений по законам Кирхгофа рекомендуется придерживаться такой последовательности: сначала выбрать произвольные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи, затем составить уравнения для узлов на основании первого закона Кирхгофа и, наконец, составить уравнения для контуров на основании второго закона Кирхгофа.
Пусть электрическая цепь содержит В ветвей и У узлов. Покажем, что на основании первого и второго законов Кирхгофа можно составить соответственно У — 1 и В — У + 1 взаимно независимых уравнений, что в сумме дает необходимое и достаточное число уравнений для определения В токов (во всех ветвях).
На основании первого закона Кирхгофа для У узлов (рис. 1.13) можно написать У уравнений:

Так как любая ветвь связывает между собой только два узла, то ток каждой ветви должен обязательно войти в эти уравнения 2 раза, причем I 12 =-I 21 ; I 13 =-I 31 и т.д.
Следовательно, сумма левых частей всех У уравнений дает тождественно нуль. Иначе говоря, одно из У уравнений может быть получено как следствие остальных У — 1 уравнений или число взаимно независимых уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа, равно У — 1, т. е. на единицу меньше числа узлов. Например, в случае цепи по рис. 1.14,о с четырьмя узлами


Добавим к этим У — 1 = 3 уравнениям уравнение

Суммируя четыре уравнения, получаем тождество 0 = 0; следовательно, из этих четырех уравнений любые три независимые, например первые три (1.21а).
Так как беспредельное накопление электрических зарядов не может происходить как в отдельных узлах электрической цепи, так и в любых ее частях, ограниченных замкнутыми поверхностями, то первый закон Кирхгофа можно применить не только к какому-либо узлу, но и к любой замкнутой поверхности — сечению.
Например, для поверхности S (рис. 1.14,а), как бы рассекающей электрическую схему на две части, справедливо уравнение , что можно также получить из уравнений (1.21) для узлов 3 и 4.
Чтобы установить число взаимно независимых уравнений, вытекающих из второго закона Кирхгофа, напишем для всех В ветвей схемы (рис. 1.13) В уравнений на основании закона Ома (1.11а):

где — сопротивление ветви, со-единяющей узлы р и у; Е ру — суммарная ЭДС, действующая в ветви р — у в направлении от р к у; — потенциалы узлов р и у.
В этих уравнениях суммарное число неизвестных токов В ветвей и потенциалов У узлов равняется В + У.
Не изменяя условий задачи, можно принять потенциал одного из узлов равным любому значению, в частности нулю. Если теперь из системы В уравнений (1.22) исключить оставшиеся неизвестными У — 1 потенциалов, то число уравнений уменьшится до В — (У — 1). Но исключение потенциалов из уравнений (1.22) приводит к уравнениям, связывающим ЭДС источников с напряжениями на резистивных элементах, т. е. к уравнениям, составленным на основании второго закона Кирхгофа.
Таким образом, число независимых уравнений, которые можно составить на основании второго закона Кирхгофа, равно В — (У- 1).
В качестве примера напишем уравнения, связывающие потенциалы узлов с токами и ЭДС для схемы рис. 1.14, а по ( 1.126):

Сложив третье и четвертое уравнения и вычтя полученную сумму из первого, получим

Если применим второй закон Кирхгофа (1.206) к контуру 1-4-2-1 (при обходе вдоль контура по направлению движения часовой стрелки), то получим это же уравнение.
Аналогичным путем можно получить уравнения для других контуров:
для контура 1-3-2-1

для котуpa 2-4-3-2

Совместное решение любых пяти уравнений (1.21), (1.23) и (1.24) дает значения токов во всех ветвях электрической цепи, показанной на рис. 1.14, а. Если и результате решения этих уравнений получится отрицательное значение для какого-либо тока, то это значит, что действительное направление противоположно принятому за положительное.
При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует обращать особое внимание на то, чтобы составленные уравнения были взаимно независимыми. Контуры необходимо выбрать гак. чтобы в них вошли все ветви схемы, а в каждый из контуров — возможно меньшее число ветвей. Контуры взаимно независимы, если каждый последующий контур, для которого составляется уравнение, имеет не меньше одной новой ветви и не получается из контуров, для которых уже написаны уравнения, путем удаления из этих контуров общих ветвей. Например, контур 1-3-4-2-1 (рис. 1.14, а) можно получить из контуров 1-3-4-1 и 1-4-2-1 путем удаления ветви 1-4. Поэтому уравнение для контура 1-3-4-2-1 является следствием уравнений (1.23), (1.24а) и получается путем их суммирования. Далее будет дано наиболее общее правило выбора контуров, обеспечивающих получение независимых уравнений.
Вторым законом Кирхгофа можно пользоваться для определения напряжения между двумя произвольными точками схемы. В этом случае необходимо ввести в левую часть уравнений (1.20) искомое напряжение вдоль пути, как бы дополняющего незамкнутый контур до замкнутого. Например, для определения напряжения U 52 (рис. 1.14, а) можно написать уравнение для контура 2-1-5-2

или для контура 5-4-2-5

откуда легко найти искомое напряжение.
Пример 1.2.
Пользуясь законами Кирхгофа, написать два выражения для тока I 0 в ветви с гальванометром (рис. 1.15), приняв известным в одном случае ток I , а в другом напряжение U .
Решение.

На основании законов Кирхгофа напишем для заданной схемы с шестью неизвестными токами уравнения:

Решив совместно эти уравнения, получим выражения для тока I 0 при заданном напряжении U

и при заданном токе I

Для полной характеристики электрического состояния цепи надо знать не только токи и напряжения, но также мощности источников и приемников энергии.
В соответствии с законом сохранения энергии развиваемая всеми источниками мощность равна суммарной мощности приемников и мощности потерь в источниках (из-за внутренних сопротивлений)

В левой части (1.25) суммы алгебраические. Это значит, что если при заданных направлениях действия источника ЭДС (см. рис. 1.7) или тока (см. рис. 1.8) для тока I в источнике ЭДС или напряжения U 12 на выводах источника тока получится отрицательное численное значение, то этот источник в действительности не разовьет мощность, а получит ее от других источников. Соответствующее слагаемое в левой части (1.25) получится со знаком минус. Если требуется найти необходимую мощность источников питания цепи, то такие слагаемые следует записать с обратным знаком в правой части (1.25).

Смотри ещё по теме Электрические цепи постоянного тока

Основные законы и методы расчета электрических цепей постоянного тока

Основные свойства электрических цепей постоянного тока

Если электрическая цепь с помощью эквивалентных преобразований не сводится к одноконтурной цепи, то для ее расчета используются специальные методы: уравнений Кирхгофа, контурных токов, наложения, узловых потенциалов, эквивалентного генератора. Рассмотрим их.

Самым общим методом расчета электрических цепей является метод уравнении Кирхгофа. Суть его заключается в составлении системы уравнений в соответствии с первым и вторым законами Кирхгофа и решении этой системы относительно неизвестных токов. Система уравнений разрешима, если все входящие в нее уравнения являются линейно независимыми и число уравнений в системе равно числу неизвестных величин. Например, если электрическая цепь имеет у узлов и Ь ветвей, а следовательно, и Ь неизвестных токов, то необходимо составить и решить систему Ь линейно независимых уравнений. Покажем, что эти уравнения можно составить по первому и второму законам Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа можно составить столько уравнений, сколько узлов имеет электрическая цепь, т.е. у уравнений. Однако линейно независимыми будут только у — 1 уравнения. Покажем это на примере.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для электрической схемы, у которой четыре узла и шесть ветвей (рис. 2.19).

Произвольно выберем направления токов в ветвях; тогда для первого узла / — К — 4 = 0, для второго К + А — /3 = 0, для третьего /₆ + /₃ — /₄ = 0, для четвертого /₄ — /| — /₅ = 0. Сложив первые три уравнения, получим — /₄ + /| + /₅ = 0. Умножим это уравнение на — 1. Тогда уравнение для четвертого узла можно получить линейными комбинациями из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для первых у — 1 узлов.

Видно, что одно из уравнений системы, составленное по числу узлов, является зависимым. Поэтому по первому закону Кирхгофа составляется только у — 1 уравнение, т.е. на одно меньше, чем число узлов в электрической цепи. Так как в схеме четыре узла, то число уравнений, которые составляются по первому закону Кирхгофа, равно трем. Остальные п = Ь — (у — 1) линейно независимых уравнений составляются по второму закону Кирхгофа. Для рассматриваемой схемы п = 6 — (4 — 1) = 3.

Таким образом, для электрической цепи, содержащей у узлов и Ь ветвей, по второму закону Кирхгофа можно составить п = Ь — (у — 1) линейно независимых уравнений. При этом общее число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, будет равно числу ветвей электрической цепи.

Расчет электрических цепей с помощью законов Кирхгофа целесообразно проводить в следующем порядке.

• 1. Определить число узлов у и число ветвей Ь в электрической цепи. В соответствии с этим найти количество уравнений, которые необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.
• 2. Обозначить на схеме цепи токи в ветвях и произвольно выбрать их направления. Выбрать независимые замкнутые контуры электрической цепи таким образом, чтобы в каждый контур, во-первых, входило возможно меньшее число ветвей и, во-вторых, чтобы в каждый последующий контур входила хотя бы одна новая ветвь. Произвольно задаться направлением обхода контуров.
• 3. Составить)’ — 1 уравнение по первому закону Кирхгофа. При этом считать положительными токи, входящие в узел, а отрицательными — выходящие из узла, или наоборот.
• 4. Составить п = Ь — (у — 1) уравнений по второму закону Кирхгофа. В этих уравнениях значение ЭДС берется со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура. Падения напряжений на сопротивлениях в замкнутом контуре электрической цепи берутся со знаком «+», если направление обхода контура совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком «-», если не совпадает.

• 5. Решить составленную систему уравнений относительно неизвестных токов. Если при этом некоторые токи получаются отрицательными, это означает, что их действительные направления противоположны произвольно выбранным. Направления этих токов на схеме обратные.
• 6. Проверить правильность решения задачи путем составления уравнения баланса мощности.

Пример 2.4. В электрической цепи (рис. 2.20) Е =50 В, ?3 = 10 В, Гц = 0,4 Ом, г,2 = 1 Ом, /*| = 3 Ом, /’2 = г у = 2 Ом. Требуется определить токи в ветвях.

Решение. В схеме два узла и три ветви. Следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо составить одно уравнение, а по второму — два. Обозначим на схеме электрической цепи узлы, токи в ветвях и стрелками произвольно укажем их положительные направления. Выберем два независимых контура и стрелками покажем направления их обхода. Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла: /₍ + Л, — /₃ = 0 .

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для выбранных независимых контуров:

Полученные уравнения образуют систему независимых уравнений с тремя неизвестными:

Решив эту систему, будем иметь: 1 = 10 А, /₂ = —2А, /₃ = 8 А. По полученным знакам токов устанавливаем, что действительные направления токов 1 и /3 совпадают, а тока /₂ — противоположно произвольно выбранным положительным направлениям.

Правильность расчета токов проверяют по балансу мощностей.

При расчете электрических цепей с помощью законов Кирхгофа источники электрической энергии, заданные в виде источника тока, должны учитываться при составлении уравнений по первому закону Кирхгофа.

Недостатком рассмотренного метода расчета электрических цепей является его громоздкость (число уравнений равно числу ветвей).

Первый закон Кирхгофа

Определение первого закона звучит так: «Алгебраическая сума токов, протекающих через узел, равна нулю». Можно сказать немного в другой форме: «Сколько токов втекло в узел, столько же и вытекло, что говорит о постоянстве тока».

Узлом цепи называют точку соединения трех и больше ветвей. Токи в таком случае распределяются пропорционально сопротивлениям каждой ветви.

Такая форма записи справедлива для цепей постоянного тока. Если использовать первый закон Кирхгофа для цепи переменного тока, то используются мгновенные значения напряжений, обозначаются буквой İ и записывается в комплексной форме, а метод расчета остаётся прежним:

Комплексная форма учитывает и активную и реактивную составляющие.

Второй закон Кирхгофа

Если первый описывает распределение токов в ветвях, то второй закон Кирхгофа звучит так: «Сумма падений напряжений в контуре равна сумме всех ЭДС». Простыми словами формулировка звучит так: «ЭДС, приложенное к участку цепи, распределится по элементам данной цепи пропорционально сопротивлениям, т.е. по закону Ома».

Тогда как для переменного тока это звучит так: «Сумма амплитуд комплексных ЭДС равняется сумме комплексных падений напряжений на элементах».

Z – это полное сопротивление или комплексное сопротивление, в него входит и резистивная часть и реактивная (индуктивность и ёмкость), которая зависит от частоты переменного тока (в постоянном токе есть только активное сопротивление). Ниже представлены формулы комплексного сопротивления конденсатора и индуктивности:

Вот картинка, иллюстрирующая вышесказанное:

Методы расчетов по первому и второму законам Кирхгофа

Давайте приступим к применению на практике теоретического материала. Чтобы правильно расставить знаки в уравнениях, нужно выбрать направление обхода контура. Посмотрите на схему:

Предлагаем выбрать направление по часовой стрелке и обозначить его на рисунке:

Штрих-пунктирной линией обозначено, как идти по контуру при составлении уравнений.

Следующий шаг – составить уравнения по законам Кирхгофа. Используем сначала второй. Знаки расставляем так: перед электродвижущей силой ставится минус, если она направлена против движения часовой стрелки (выбранное нами в предыдущем шаге направление), тогда для ЭДС направленного по часовой стрелке – ставим минус. Составляем для каждого контура с учетом знаков.

Для первого смотрим направление ЭДС, оно совпадает со штрих-пунтирной линией, ставим E1 плюс E2:

Знаки у IR (напряжения) зависят от направлением контурных токов. Здесь правило знаков такое же, как и в предыдущем случае.

IR пишется с положительным знаком, если ток протекает в сторону направления обхода контура. А со знаком «–», если ток течет против направления обхода контура.

Направление обхода контура — это условная величина. Нужна она только для расстановки знаков в уравнениях, выбирается произвольно и на правильность расчётов не влияет. В отдельных случаях неудачно выбранное направление обхода может усложнить расчёт, но это не критично.

Рассмотрим еще одну цепь:

Здесь целых четыре источника ЭДС, но порядок расчета тот же, сначала выбираем направление для составления уравнений.

Теперь нужно составить уравнения согласно первому закону Кирхгофа. Для первого узла (слева на схеме цифра 1):

I₃ втекает, а I₁, I₄ вытекает, отсюда и знаки. Для второго:

Вопрос: «Узла четыре, а уравнения всего три, почему?». Дело в том, что число уравнений первого правила Кирхгофа равно:

Т.е. уравнений всего на 1 меньше, чем узлов, т.к. этого достаточно, чтобы описать токи во всех ветвях, советую еще раз подняться к схеме и проверить, все ли токи записаны в уравнениях.

Теперь перейдем к построению уравнений по второму правилу. Для первого контура:

Для второго контура:

Для третьего контура:

Если подставить значения реальных напряжений и сопротивлений, тогда выяснится, что первый и второй законы справедливы и выполняются. Это простые примеры, на практике приходится решать гораздо более объёмные задачи.

Вывод. Главное при расчётах с помощью первого и второго законов Кирхгофа – соблюдения правила составления уравнений, т.е. учитывать направления протекания токов и обхода контура для правильной расстановки знаков для каждого элемента цепи.

Законы Кирхгофа для магнитной цепи

В электротехнике также важны и расчёты магнитных цепей, оба закона нашли своё применение и здесь. Суть остаётся той же, но вид и величины изменяются, давайте рассмотрим этот вопрос подробнее. Сначала нужно разобраться с понятиями.

Магнитодвижущая сила (МДС) определяется произведением количества витков катушки, на ток через неё:

F=w*I

Магнитное напряжение – это произведение напряженности магнитного поля на ток, через участок, измеряется в Амперах:

Или магнитный поток через магнитное сопротивление:

L – средняя длина участка, μ_r и μ – относительная и абсолютная магнитная проницаемость.

Проводя аналогии запишем первый закон Кирхгофа для магнитной цепи:

То есть сумма всех магнитных потоков через узел равна нулю. Вы заметили, что звучит почти так же, как и для электрической цепи?

Тогда второй закон Кирхгофа звучит, как «Сумма МДС в магнитном контуре равна сумме U_{M­­ ­­}(магнитных напряжений).

Магнитный поток равен:

Для переменного магнитного поля:

Он зависит только от напряжения на обмотке, но не от параметров магнитной цепи.

В качестве примера рассмотрим такой контур:

Тогда для ABCD получится такая формула:

Для контуров с воздушным зазором выполняются следующие соотношения:

А сопротивление воздушного зазора (справа на сердечнике):

Где S — это площадь сердечника.

Чтобы полностью усвоить материал и наглядно просмотреть некоторые нюансы использования правил, рекомендуем ознакомиться с лекциями, которые предоставлены на видео:

Открытия Густава Кирхгофа внесли весомый вклад в развитие науки, в особенности электротехники. С их помощью довольно просто рассчитать любой электрический или магнитный контур, токи в нём и напряжения. Надеемся, теперь вам стали более понятны правила Кирхгофа для электрической и магнитной цепи.

Похожие материалы: