Жесткость двух последовательно соединенных пружин
При параллельном соединении двух пружин, имеющих коэффициенты жесткости с1, с2 (рис. 2.5), смещение тела равно деформации каждой из пружин:
. (2.9)
Рис. 2.5 Параллельное соединение пружин
Сила упругости эквивалентной пружины с коэффициентом жесткости с* будет равна сумме сил упругости двух установленных пружин, откуда с учетом (2.9) получаем
,
. (2.10)
Последовательное соединение пружин
При последовательном соединении двух пружин, имеющих коэффициенты жесткости с1, с2 (рис. 2.6), смещение тела равно сумме деформаций пружин:
. (2.11)
Рис. 3.6 Последовательное соединение пружин
Сила упругости эквивалентной пружины с коэффициентом жесткости с* будет равна каждой из сил упругости установленных пружин, откуда
,
,
Окончательно с учетом (2.11) получаем
. (2.12)
Влияние сопротивления на свободные колебания
Пусть на точку массы m, совершающую прямолинейное движение, действуют две силы (рис. 2.7):
Восстанавливающая сила (сила упругости пружины): .
Сила сопротивления, пропорциональная скорости движения точки (сила сопротивления демпфера): .
Рис. 2.7 Движение массы с демпфированием
Дифференциальное уравнение движения точки запишется как
;
,
, , (2.13)
получаем линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
. (2.14)
Характеристическое уравнение имеет вид
, (2.15)
его корни равны
, (2.16)
где – дискриминант.
Как известно из курса высшей математики, общее решение дифференциального уравнения (2.14) существенно зависит от знака дискриминанта , т.е. от соотношения между b и k.
1-й случай (малое сопротивление): b k , D 0.
Обозначим , причем k* k. Тогда корни (2.16) характеристического уравнения будут комплексно сопряженными:
,
Общее решение дифференциального уравнения (2.14) в данном случае имеет вид
, (2.17)
это затухающие колебания с частотой k * и периодом (рис.3.8).
Амплитуда колебаний убывает со временем. Отношение последующей амплитуды к предыдущей называется декрементом затухания:
* k) и к увеличению их периода (Т * > Т).
Корни (2.16) характеристического уравнения получаются кратные, , и решение дифференциального уравнения (2.14) приобретает вид
. (2.19)
Поскольку экспонента убывает быстрее, чем растёт линейная функция времени, в зависимости от начальных условий движения получим ту или иную картину затухающего апериодического (т.е. не колебательного) движения (рис.2.9).
3-й случай (большое сопротивление): b > k, D > 0.
В этом случае обозначим >0, и оба корня (2.16) характеристического уравнения будут действительными и отрицательными:
- 10 — 11 классы
- Физика
- 5 баллов
Жесткость пружины , составленной из двух последовательно соединенных пружин, k=50 H/м . Если жесткость одной из этих пружин k1=150 H/м, то жесткость второй составит
a) k = k1 + k2 б) k = k1k2/k1+k2
Решение. Коэффициент жесткости упругой системы определяете.я из соотношения F = kx, где F — сила упругости, а х — модуль общего удлинения системы. а) При параллельном соединении пружин х = х1 = х2, F = F1 + F2 • Здесь х1 , х2 —
удлинения пружин, а F1 , F2 — создаваемые этими пружинами силы упругости. Отсюда k = F/x = (F1 + F2)/x = k1 + k2• б) При последовательном соединении каждая из пружин растягивается силой F. Полное удлинение системы х = х1 + х2, т.е. F/k = F/k1 + F/k2• Огсюда k = k1k2/(k1 + k2). Заметим, что в этом случае коэффициент жесткости системы меньше, чем у любой из пружин этой системы.
«>
Отправить ответ