Виды проецирования в черчении

Для построения изображения геометрических образов на плоскости пользуются методом проецирования.

Проекция – это отображение геометрического образа на плоскость проекций, полученное при помощи аппарата центрального или параллельного проецирования.

Пример центрального проецирования (рисунок 1):

1) точка S – центр проецирования;

2) плоскость П₁ – плоскость проекции, не проходящая через S.

3) точка А — геометрический образ.

Проводим через S и A прямую, которая называется проецирующей, до пересечения с плоскостью П1, найдем точку А1, которая является проекцией точки А на плоскости П1.

Рисунок 1 — Центральное проецирование

Пример параллельного проецирования:

1) S — направление проецирования (S – удалена в бесконечность);

2) П1 — плоскость проекции;

3) А и В – геометрические образы.

При параллельном проецировании проецирующие линии (лучи) составляют с плоскостью проекций один и тот же угол. Если направление S и, следовательно, проецирующие линии перпендикулярны плоскости проекции, то способ проецирования называется прямоугольным, а полученные проекции прямоугольными или ортогональными.

Рисунок 2 — Параллельное проецирование

Одна проекция объекта проецирования (точки, прямой, плоскости или поверхности) не определяет его положения в пространстве, для определения положения объекта необходимо иметь не менее двух его проекций. С этой целью строят прямоугольные проекции геометрических образов на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Прямоугольный метод проецирования на две или три взаимно перпендикулярные плоскости является основным методом начертательной геометрии. По этому методу изготовляются все технические чертежи.

2 Инвариантные свойства ортогонального (прямоугольного) проецирования

При параллельном ортогональном проецировании, в общем случае, нарушается метрическое равенство между оригиналом и его проекцией, хотя проекция сохраняет некоторые свойства оригинала, которые называются инвариантными (неизменяемыми):

1. Проекция точки есть точка:

2. Проекция прямой на плоскость есть прямая:

3. Если точка принадлежит линии, то проекция этой точки принадлежит проекции линии:

4. Проекции взаимно çç прямых также взаимно çç, а отношение отрезков таких прямых равно отношению их çç проекций.

5. Точка пересечения, проекций пересекающихся прямых является проекцией точки пересечения этих прямых:

6. Плоская фигура, параллельная плоскости проекции проецируется на эту плоскость без искажений.

7. Плоский прямоугольник в общем случае проецируется в многоугольник с тем же числом вершин. Если плоскость многоугольника параллельна направлению проецирования, то она проецируется в прямую линию.

8. Параллельный перенос оригинала или плоскости проекций не изменяет вида и размеров проекций оригинала.

9. Если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажений.

Точка

Прямоугольной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость проекции.

В качестве плоскостей проекций возьмем три взаимно перпендикулярные плоскости П1, П2, П3 (Рисунок 3).

Плоскость П1, называется горизонтальной плоскостью проекций; плоскость П2 – фронтальной плоскостью проекций; плоскость П3 – профильной плоскостью проекций.

X, Y, Z – оси проекций; О – начало координат.

Рисунок 3 – Проецирование точки А на 3 плоскости проекций

Остальные линии чертежа называются линиями связей проекций.

Название проекций точки А: А1 – горизонтальная проекция; А2 – фронтальная проекция; А3 – профильная проекция.

Для получения комплексного чертежа следует совместить плоскости П1 и П3 с плоскостью П2, вращая их вокруг соответствующих осей. При этом следует убрать из пространственной модели точку А и проецирующие лучи, а оставить только линии связи.

Рисунок 4 — Комплексный чертеж точки

Комплексным чертежом (рисунок 4) называется чертеж, составленный из комплекса проекций точки, связанных между собой. Для удобства решения задач в дальнейшем поля проекций П1, П2, П3 ограничиваться не будут.

Ось X на комплексном чертеже обозначается X₁₂, так как она принадлежит одновременно двум плоскостям проекции: П₁ и П₂. Ось Z обозначается Z₂₃, т.к. она принадлежит П₂ и П₃. Ось Y на П₁ обозначается Y₁, на П₃ – Y₃. Центр координат на комплексном чертеже обозначается О₁₂₃.

Фронтальная и горизонтальная проекции точки располагаются на одной вертикальной линии связи – А₁А₂^X₁₂.

Фронтальная и профильная проекция точки расположены на одной линии связи – А₂А₃^Z₂₃. При наличии двух проекций точки, третью проекцию можно найти с помощью прямой — К_о, которая называется постоянной прямой комплексного чертежа.

При безосном способе изображения положение осей проекций становится неопределенным и они на комплексном чертеже не наносятся. Комплексный чертеж точки приобретает вид, показанный на рисунке 5. Условие связи между проекцией те же, что и при осном способе изображения.

Рисунок 5 – Безосный чертеж точки

Определение пространственного положения точки можно осуществить при помощи ее прямоугольных координат. Координатами точки являются числа, выражающие расстояние от точки до трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций.

Широта точки – расстояние от точки А до плоскости П3; обозначается Xа. Широта точки читается на П1 и П2.

Глубина точки – расстояние от точки А до плоскости П2; обозначается Yа.Глубина точки читается на П₁ и П₃.

Высота точки – расстояние от точки А до плоскости П1; обозначается Zа.Высота точки читается на П₂ и П₃.При прямоугольном проецировании возможны случаи, когда две точки имеют одинаковую координату. В этом случае на двух плоскостях проекций они лежат на одной линии связи, а на третьей плоскости проекций – проекции этих точек совпадают (одна из них закрывается другой). Такие точки называются конкурирующими точками.Конкурирующие точки могут быть на П₁, П₂ и П₃. В каждом из этих случаев важно знать условия видимости конкурирующих точек:

1. Из двух горизонтально конкурирующих точек на П₁ видна та, которая выше (у которой больше высота).

2. Из двух фронтально конкурирующих точек на П₂ видна та, которая ближе (у которой больше глубина).

3. Из двух профильно конкурирующих точек на П₃ видна та, у которой больше широта.

1. Совокупность двух и более взаимосвязанных, ортогональных проекций геометрической фигуры, расположенных на одной плоскости чертежа, называется комплексным чертежом.

2. Обратимый комплексный чертеж должен содержать не менее двух проекций геометрической фигуры.

Прямая

Прямая линия может быть задана в пространстве любыми двумя точками (например А и В рисунок 6).

Построение проекций прямой на плоскость сводится к построению проекций её концевых точек, соединенными между собой прямыми линиями А₁В₁ и А₂В₂.

Прямая общего положения – это прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций. На комплексном чертеже (рисунок 6) все её проекции расположены под углом к линиям связи, причем этот угол не равен 90 0 .

Рисунок 6 – Комплексный чертеж прямой общего положения

На чертежах, применяемых в технике, нет надобности устанавливать расстояние точек изображаемого объекта до плоскостей проекций. Важно показать их взаимное расположение, поэтому необходимость задания осей проекций на комплексном чертеже во многих случаях отпадает.

Рисунок 7 – безосный комплексный чертеж прямой, на котором отсутствуют оси координат (не зафиксированы плоскости проекций), следовательно, нет координат точек, но есть разности координат.

Рисунок 7 – Положение точек относительно друг друга

Прямые параллельные или перпендикулярные к какой-либо плоскости проекций называются прямыми частного положения.

Прямая параллельная какой-либо плоскости проекций называется линией уровня (рисунок 8):

а) прямая АВ параллельна П1 ее называют горизонталью. Проекция на П₂ — А2В2 параллельна оси X, перпендикулярна вертикальным линиям связи; проекция на П₁ — А₁В₁ натуральная величина самого отрезка, β – угол наклона АВ к П₂;

б) прямая СD параллельна П2 ее называют фронталью. Проекция на П₁ — С1D1 параллельна оси X, перпендикулярна вертикальным линиям связи; проекция на П₂ — С₂ D₂ натуральная величина самого отрезка, α – угол наклона СD к П1;

в) прямая EF параллельна П3 ее называют профильной прямой. Проекция на П₂ — E2F2 параллельна Z, на П₁ — E₁ F₁ параллельна Y, совпадает с вертикальной линией связи, проекция на П₃ — E3F3 натуральная величина самого отрезка, α и β углы наклона к П1 и П2.

Прямая перпендикулярная к какой-либо плоскости проекций, называется проецирующей прямой (рисунок 8):

г) прямая АВ перпендикулярна к П1 ее называют горизонтально-проецирующей прямой. Проекция на П1 точка А₁=В₁ , обладает собирательным свойством, на П₂ и П₃ проецируется в натуральную величину;

д) прямая ЕF перпендикулярна к П2 ее называют фронтально-проецирующей прямой. Проекция на П₂ точка Е₂=F₂, обладает собирательным свойством, на П₁ и П₃ проецируется в натуральную величину;

е) прямая ЕD перпендикулярна к П3 ее называют профильно-проецирующей прямой. Проекция на П₃ точка Е₃=D₃, обладает собирательным свойством, на П₁ и П₂ проецируется в натуральную величину.

Рисунок 8 – Прямые частного положения

Таким образом, можно видеть, что прямые уровня и проецирующие прямые на комплексном чертеже всегда имеют одну из проекций, которая равна натуральной величине отрезка. Несложно так же определить и углы наклона таких прямых к плоскостям проекций.

Для определения натуральной величины прямой общего положения и угла ее наклона к плоскости проекций пользуются способом прямоугольного треугольника (рисунок 9).

Рисунок 9 – Способ прямоугольного треугольника

Построим ортогональную проекцию А₁В₁ отрезка АВ на плоскости P₁. Проведем АВ параллельную А₁В₁. Треугольник АВВ — прямоугольный (рисунок 9а) длина одного его катета равна длине горизонтальной проекции отрезка АВ, а второго – разности высот точек АВ. Отрезок АВ является гипотенузой этого треугольника, а угол a — углом наклона АВ к P₁.

Треугольник конгруэнтный данному, можно построить на комплексном чертеже (рисунок 9б).

Приняв А₁В₁ за один катет, строим прямоугольный треугольник, вторым катетом которого является отрезок В₁В = Z_В – Z_А – разность высот. Длина гипотенузы А₁В равна натуральной величине АВ, а угол a = В₁А₁В – величине угла наклона его к P₁. Длина отрезка может быть определена как длина гипотенузы прямоугольного треугольника, одним катетом которого является фронтальная проекция А₂В₂, а вторым – разность глубины А и В (это построение также показано на рисунке 9б). Гипотенуза А В₂ – натуральная величина АВ, а угол b — А В₂А₂ – величина угла наклона отрезка АВ к P₂.

Дата добавления: 2016-01-07 ; просмотров: 2489 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Центральные проекции часто называют перспективой. Примерами центральной проекции являются фотоснимки и кинокадры, тени, отброшенные от предмета лучами электролампы и др. Центральные проекции применяют в рисовании с натуры.

Если проецирующие лучи параллельны друг другу, то процесс проецирования называется параллельным, а полученное изображение — параллельной проекцией. Примером параллельной проекции являются солнечные тени.

При параллельном проецировании все лучи падают на плоскость проекций под одним и тем же углом. Если это любой острый угол, то проецирование называется косоугольным. В косоугольной проекции, как и в центральной, форма и величина предмета искажаются. Однако строить предмет в параллельной косоугольной проекции проще, чем в центральной. В техническом черчении такие проекции используют иногда для построения наглядных изображений.

В том случае, когда проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций, т. е. составляют с ней угол в 90°, проецирование называют прямоугольным. Полученное при этом изображение называется прямоугольной проекцией предмета.

Способ прямоугольного проецирования является основным в черчении. Он используется для построения как чертежей, так и наглядных изображений предметов.
n

n
• Проецирование на одну, две и три взаимно перпендикулярные плоскости проекций n

nПроецирование на одну плоскость проекций. Как вы уже знаете, для построения проекции предмета сначала через все его точки проводят проецирующие лучи. Затем отмечают точки пересечения лучей с плоскостью проекций и соединяют их прямыми или кривыми линиями. В зависимости от расположен. я перед плоскостью проекций предмет на изображении может быть видимым с одной, двух или трех сторон.

Проекция, на которой предмет изображается видимым сразу с нескольких сторон, очень наглядна. При ее рассматривании легко представить пространственный образ предмета.

Однако на наглядных изображениях предметы имеют большие искажения. Например, круглые части проецируются в овальные, прямые углы — в тупые и острые. Изменяются и некоторые размеры предмета. Поэтому такие изображения в практике применяют редко.

Расположим предмет перед плоскостью проекций так, чтобы на изображении он оказался видимым только с одной стороны, и построим его прямоугольную проекцию. Теперь размеры длины и ширины предмета не изменяются, не будут искажаться углы между прямыми линиями, круглое отверстие изобразится окружностью. Однако на нем нет третьего измерения — высоты. Чтобы чертеж стал пригодным для использования на практике, его дополняют указанием о высоте предмета. Высоту можно записать на чертеже словами. Так поступают, если изображенный предмет не имеет выступов, впадин и т. п.

Например, дан чертеж детали, называемой «прокладка». Чертеж состоит из одной прямоугольной проекции. По чертежу видно, что длина детали 30 мм, а ширина 24 мм. В детали имеется одно круглое сквозное отверстие 0 16 мм. Из записи, сделанной на чертеже, узнаем, что толщина (т. е. высота) изображенной детали 4 мм. Примеры чертежей, состоящих- из одной прямоугольной проекции.

На чертеже, полученном при прямоугольном проецировании на одну плоскость, можно указать высоту не только предмета в целом, но и каждой его части, например каждой точки (вершины). При этом нет необходимости каждый раз записывать слово «высота» или «толщина». Достаточно рядом с проекцией той или иной части предмета поставить число, указывающее ее высоту.

Найти на заказ детские платья в Бишкеке, Киргизия, оптом и небольшими партиями.

Одно из основных геометрических понятий — отображение множеств . В начертательной геометрии каждой точке трехмерного пространства ставится в соответствие определенная точка двумерного пространства – плоскости. Геометрическими элементами отображения служат точки, линии, поверхности пространства. Геометрический объект, рассматриваемый как точечное множество отображается на плоскость по закону проецирования. Результатом такого отображения является изображение объекта.

В основу любого изображение положена операция проецирования, которая заключается в следующем. В пространстве выбирают произвольную точку S (рис. 1 ) в качестве центра проецирования и плоскость П _i , не проходящая через точку S , в качестве плоскости проекций ( картинной плоскости). Чтобы спроецировать точку А на плоскость П _i , через центр проецирования S проводят луч S А до его пересечения с плоскостью П _i в точке А _i . Точку А _i принято называть центральной проекцией точки А , а луч S А — проецирующим лучом .

Описанные построения выражают суть операции, называемой центральным проецированием точек пространства на плоскость.

В евклидовом пространстве существуют точки, которые не имеют центральных проекций, и наоборот в плоскости П_i есть точки, которые в пространстве не имеют оригиналов (точки D и F).

Точка F прямой m принадлежит плоскости , Ω, проходящей через центр проецирования S и расположенной параллельно плоскости проекций, таким образом проецирующий луч SF параллелен плоскости проекций, а точка F, как и все точки лежащие в плоскости Ω не имеют центральных проекций на П_i.

Рисунок 1 . Центральное проецирование

Точка D_i проекции прямой m_i не имеет оригинала на прямой m, так как проецирующий луч SD_i параллелен прямой.

Для исключения подобных случаев евклидово пространство расширяют введением несобственных (бесконечно удаленных) точек. Такое пространство называется расширенным евклидовым пространством.

Проецирующие лучи, проведенные через все точки кривой n , образуют проецирующую коническую поверхность N (рис.2). Проекция криволинейной фигуры, таким образом, представляет собой линию пересечения проецирующей поверхности N и плоскости проекций П _i .

Рисунок 2. Центральное проецирование линии

Рисунок 3. Центральное проецирование поверхности

К оническую поверхность К образуют лучи и при проецировании трехмерной фигуры (рис. 3). Линию K _i принято называть в этом случая очерковой или очерком данной фигуры .

Центральное проецирование есть наиболее общий случай проецирования геометрических объектов на плоскости.

Основными и неизменными его свойствами (инвариантами) являются следующие:

1) проекция точки – точка;

2) проекция прямой – прямая;

3) если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.

По принципу центрального проецирования работают фотоаппараты и кинокамеры. Упрощенная схема работы человеческого глаза близка к этому виду проецирования: роль центра проецирования выполняет оптический центр хрусталика, роль проецирующих прямых – лучи света; плоскостью проекций служит сетчатка глаза. Поэтому изображения, построенные по принципу центрального проецирования, наиболее наглядны и их широко используют в своей работе художники, архитекторы, дизайнеры и многие другие специалисты.

Частный случай центрального проецирования – параллельное проецирование , когда центр проецирования удален в бесконечность, при этом проецирующие лучи можно рассматривать как параллельные проецирующие прямые. Положение проецирующих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проецирования S (рис.4). В этом случае полученное изображение называют параллельной проекцией объекта.

При параллельном проецировании сохраняются свойства центрального и добавляются следующие:

проекции параллельных прямых параллельны между собой;

отношение отрезков прямой равно отношению их проекций;

отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций.

В свою очередь параллельные проекции подразделяются на прямоугольные , когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, и косоугольные , когда направление проецирования образует с плоскостью проекций угол не равный 90 0 .

Рисунок 4. Параллельное проецирование

Прямоугольное (ортогональное) проецирование является частным случаем параллельного.

Проекция объекта, полученная с использование этого метода, называется ортогональной .

Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного и центрального проецирования и кроме того, справедлива теорема о проецировании прямого угла: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол .

К проекционным изображениям в начертательной геометрии предъявляются следующие основные требования:

1. Обратимость – восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) – возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой.

2. Наглядность – чертеж должен создавать пространственное представление о форме предмета.

3. Точность – графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты.

4. Простота – изображение должно быть простым по построению и допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.